Resolver 3x+7/x+2+x-1/x=2

$$\frac { 3 x + 7 } { x + 2 } + \frac { x - 1 } { x } = 2$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$x=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2.414213562$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+2\right) balioarekin (x+2,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\left(3x+7\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta 3x+7 biderkatzeko.

$$3x^{2}+7x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$3x^{2}+7x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta x^{2}.

$$4x^{2}+7x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 7x eta x.

$$4x^{2}+8x-2=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x+2 biderkatzeko.

$$4x^{2}+8x-2=2x^{2}+4x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}+8x-2-2x^{2}=4x$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -2x^{2}.

$$2x^{2}+8x-2=4x$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x^{2}+8x-2-4x=0$$

4x lortzeko, konbinatu 8x eta -4x.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta -2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 2}$$

Gehitu 16 eta 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 2}$$

Atera 32 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±2^{\frac{5}{2}}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-4±2^{\frac{5}{2}}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±2^{\frac{5}{2}}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 2^{\frac{5}{2}}.

$$x=\frac{2^{\frac{5}{2}}-4}{4}$$

Zatitu -4+2^{\frac{5}{2}} balioa 4 balioarekin.

$$x=\sqrt{2}-1$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±2^{\frac{5}{2}}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2^{\frac{5}{2}} ken -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{4}$$

Zatitu -4-4\sqrt{2} balioa 4 balioarekin.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+2\right) balioarekin (x+2,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\left(3x+7\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta 3x+7 biderkatzeko.

$$3x^{2}+7x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$3x^{2}+7x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta x^{2}.

$$4x^{2}+7x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 7x eta x.

$$4x^{2}+8x-2=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x+2 biderkatzeko.

$$4x^{2}+8x-2=2x^{2}+4x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}+8x-2-2x^{2}=4x$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -2x^{2}.

$$2x^{2}+8x-2=4x$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x^{2}+8x-2-4x=0$$

4x lortzeko, konbinatu 8x eta -4x.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

Gehitu 2 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x^{2}+4x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{2}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{2}{2}$$

Zatitu 4 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+2x=\frac{2}{2}$$

Zatitu 2 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+2x=1$$

Zatitu 2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

Gehitu 1 eta 1.

$$x^{2}+2x+1=2$$

Atera x^{2}+2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sinplifikatu.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Ebatzi: x

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$x=-\sqrt{2}-1\approx -2.414213562$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+2\right) balioarekin (x+2,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\left(3x+7\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta 3x+7 biderkatzeko.

$$3x^{2}+7x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$3x^{2}+7x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta x^{2}.

$$4x^{2}+7x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 7x eta x.

$$4x^{2}+8x-2=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x+2 biderkatzeko.

$$4x^{2}+8x-2=2x^{2}+4x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}+8x-2-2x^{2}=4x$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -2x^{2}.

$$2x^{2}+8x-2=4x$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x^{2}+8x-2-4x=0$$

4x lortzeko, konbinatu 8x eta -4x.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta -2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 2}$$

Gehitu 16 eta 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 2}$$

Atera 32 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{4}$$

Zatitu -4+4\sqrt{2} balioa 4 balioarekin.

$$x=\sqrt{2}-1$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{2} ken -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{4}$$

Zatitu -4-4\sqrt{2} balioa 4 balioarekin.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+2\right) balioarekin (x+2,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\left(3x+7\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta 3x+7 biderkatzeko.

$$3x^{2}+7x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$3x^{2}+7x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta x^{2}.

$$4x^{2}+7x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 7x eta x.

$$4x^{2}+8x-2=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x+2 biderkatzeko.

$$4x^{2}+8x-2=2x^{2}+4x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}+8x-2-2x^{2}=4x$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -2x^{2}.

$$2x^{2}+8x-2=4x$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x^{2}+8x-2-4x=0$$

4x lortzeko, konbinatu 8x eta -4x.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

Gehitu 2 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x^{2}+4x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{2}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{2}{2}$$

Zatitu 4 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+2x=\frac{2}{2}$$

Zatitu 2 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+2x=1$$

Zatitu 2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

Gehitu 1 eta 1.

$$x^{2}+2x+1=2$$

Atera x^{2}+2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sinplifikatu.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$