Resolver 3/x-2-10/x+2=1

$$\frac { 3 } { x - 2 } - \frac { 10 } { x + 2 } = 1$$

Ebatzi: x

$$x=-10$$

$$x=3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x+2\right) balioarekin (x-2,x+2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+2\right)\times 3-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta 3 biderkatzeko.

$$3x+6-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 10 biderkatzeko.

$$3x+6-\left(10x-20\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

10x-20 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$3x+6-10x+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

-7x lortzeko, konbinatu 3x eta -10x.

$$-7x+6+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

26 lortzeko, gehitu 6 eta 20.

$$-7x+26=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Kasurako: \left(x-2\right)\left(x+2\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 2 ber bi.

$$-7x+26=x^{2}-4$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-7x+26-x^{2}=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$-7x+26-x^{2}+4=0$$

30 lortzeko, gehitu 26 eta 4.

$$-7x+30-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}-7x+30=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta 30 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 49 eta 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\left(-1\right)}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±13}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{7±13}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±13}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 13.

$$x=\frac{20}{-2}$$

Zatitu 20 balioa -2 balioarekin.

$$x=-10$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±13}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Zatitu -6 balioa -2 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-10 x=3$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x+2\right) balioarekin (x-2,x+2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+2\right)\times 3-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta 3 biderkatzeko.

$$3x+6-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 10 biderkatzeko.

$$3x+6-\left(10x-20\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

10x-20 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$3x+6-10x+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

-7x lortzeko, konbinatu 3x eta -10x.

$$-7x+6+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

26 lortzeko, gehitu 6 eta 20.

$$-7x+26=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Kasurako: \left(x-2\right)\left(x+2\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 2 ber bi.

$$-7x+26=x^{2}-4$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-7x+26-x^{2}=-4$$

Kendu 26 bi aldeetatik.

$$-7x-x^{2}=-4-26$$

-30 lortzeko, -4 balioari kendu 26.

$$-7x-x^{2}=-30$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}-7x=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}-7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-1}\right)x=-\frac{30}{-1}$$

Zatitu -7 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+7x=-\frac{30}{-1}$$

Zatitu -30 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+7x=30$$

Zatitu 7 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Gehitu 30 eta \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Atera x^{2}+7x+\frac{49}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-10$$