Resolver 3/x+5/x+2=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 5 } { x + 2 } = 2$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -2,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+2\right) balioarekin (x,x+2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta 3 biderkatzeko.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 3x eta x\times 5.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x+2 biderkatzeko.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

4x lortzeko, konbinatu 8x eta -4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$2x+3-x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=3 b=-1$$

Berridatzi -x^{2}+2x+3 honela: \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta -x-1=0.

$$x=3 x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+2\right) balioarekin (x,x+2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta 3 biderkatzeko.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 3x eta x\times 5.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x+2 biderkatzeko.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

4x lortzeko, konbinatu 8x eta -4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-2x^{2}+4x+6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta 6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 16 eta 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 64 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{-4±8}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±8}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 8.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Zatitu 4 balioa -4 balioarekin.

$$x=-1$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±8}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 8 ken -4.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Zatitu -12 balioa -4 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-1 x=3$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+2\right) balioarekin (x,x+2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta 3 biderkatzeko.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 3x eta x\times 5.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x+2 biderkatzeko.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

4x lortzeko, konbinatu 8x eta -4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$4x-2x^{2}=-6$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-2x^{2}+4x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}+4x}{-2}=-\frac{6}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{-2}x=-\frac{6}{-2}$$

Zatitu 4 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-2x=-\frac{6}{-2}$$

Zatitu -6 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-2x=3$$

Zatitu -2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Gehitu 3 eta 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Atera x^{2}-2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sinplifikatu.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-1$$