Resolver 3/x+3=1+2/x-1

$$\frac { 3 } { x + 3 } = 1 + \frac { 2 } { x - 1 }$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{2}\approx -0.5-2.397915762i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{2}\approx -0.5+2.397915762i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -3,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)\left(x+3\right) balioarekin (x+3,x-1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-1\right)\times 3=\left(x-1\right)\left(x+3\right)+\left(x+3\right)\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 3 biderkatzeko.

$$3x-3=\left(x-1\right)\left(x+3\right)+\left(x+3\right)\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta x+3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$3x-3=x^{2}+2x-3+\left(x+3\right)\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta 2 biderkatzeko.

$$3x-3=x^{2}+2x-3+2x+6$$

4x lortzeko, konbinatu 2x eta 2x.

$$3x-3=x^{2}+4x-3+6$$

3 lortzeko, gehitu -3 eta 6.

$$3x-3=x^{2}+4x+3$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3x-3-x^{2}=4x+3$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$3x-3-x^{2}-4x=3$$

-x lortzeko, konbinatu 3x eta -4x.

$$-x-3-x^{2}=3$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$-x-3-x^{2}-3=0$$

-6 lortzeko, -3 balioari kendu 3.

$$-x-6-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}-x-6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider -6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 1 eta -24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-23}}{2\left(-1\right)}$$

Atera -23 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{23}i}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{23}i}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta i\sqrt{23}.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{-2}$$

Zatitu 1+i\sqrt{23} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{23}i}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{23} ken 1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{-2}$$

Zatitu 1-i\sqrt{23} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -3,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)\left(x+3\right) balioarekin (x+3,x-1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-1\right)\times 3=\left(x-1\right)\left(x+3\right)+\left(x+3\right)\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 3 biderkatzeko.

$$3x-3=\left(x-1\right)\left(x+3\right)+\left(x+3\right)\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta x+3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$3x-3=x^{2}+2x-3+\left(x+3\right)\times 2$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta 2 biderkatzeko.

$$3x-3=x^{2}+2x-3+2x+6$$

4x lortzeko, konbinatu 2x eta 2x.

$$3x-3=x^{2}+4x-3+6$$

3 lortzeko, gehitu -3 eta 6.

$$3x-3=x^{2}+4x+3$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3x-3-x^{2}=4x+3$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$3x-3-x^{2}-4x=3$$

-x lortzeko, konbinatu 3x eta -4x.

$$-x-3-x^{2}=3$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$-x-x^{2}=3+3$$

6 lortzeko, gehitu 3 eta 3.

$$-x-x^{2}=6$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}-x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{6}{-1}$$

Zatitu -1 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+x=\frac{6}{-1}$$

Zatitu 6 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+x=-6$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

Gehitu -6 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{2}$$