Resolver 2x-5/x^2+3x+2+4/x^2-4=1/x-2

$$\frac { 2 x - 5 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { 1 } { x - 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

x aldagaia eta -2,-1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 2x-5 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 4 biderkatzeko.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

-5x lortzeko, konbinatu -9x eta 4x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

14 lortzeko, gehitu 10 eta 4.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

-8x lortzeko, konbinatu -5x eta -3x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

12 lortzeko, 14 balioari kendu 2.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-8x+12 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=12$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=-2$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-6=0 eta x-2=0.

$$x=6 x=2$$

x aldagaia eta 2 ezin dira izan berdinak.

$$x=6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -2,-1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 2x-5 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 4 biderkatzeko.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

-5x lortzeko, konbinatu -9x eta 4x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

14 lortzeko, gehitu 10 eta 4.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

-8x lortzeko, konbinatu -5x eta -3x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

12 lortzeko, 14 balioari kendu 2.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+12 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=-2$$

Berridatzi x^{2}-8x+12 honela: \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Deskonposatu x-6 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-6=0 eta x-2=0.

$$x=6 x=2$$

x aldagaia eta 2 ezin dira izan berdinak.

$$x=6$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,-1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 2x-5 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 4 biderkatzeko.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

-5x lortzeko, konbinatu -9x eta 4x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

14 lortzeko, gehitu 10 eta 4.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

-8x lortzeko, konbinatu -5x eta -3x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

12 lortzeko, 14 balioari kendu 2.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta 12 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Gehitu 64 eta -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Atera 16 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±4}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Zatitu 12 balioa 2 balioarekin.

$$x=6$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±4}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 4 ken 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Zatitu 4 balioa 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=6 x=2$$

x aldagaia eta 2 ezin dira izan berdinak.

$$x=6$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,-1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 2x-5 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 4 biderkatzeko.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

-5x lortzeko, konbinatu -9x eta 4x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

14 lortzeko, gehitu 10 eta 4.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

-8x lortzeko, konbinatu -5x eta -3x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Kendu 14 bi aldeetatik.

$$x^{2}-8x=2-14$$

-12 lortzeko, 2 balioari kendu 14.

$$x^{2}-8x=-12$$

Zatitu -8 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -4 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -4 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Egin -4 ber bi.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Gehitu -12 eta 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Atera x^{2}-8x+16 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sinplifikatu.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6 x=2$$

x aldagaia eta 2 ezin dira izan berdinak.

$$x=6$$