Resolver 2x/x^2-100=2/15

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

Ebatzi: x

$$x=-5$$

$$x=20$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -10,10 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15\left(x-10\right)\left(x+10\right) balioarekin (x^{2}-100,15 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

30 lortzeko, biderkatu 15 eta 2.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-10 biderkatzeko.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-20 eta x+10 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$30x=2x^{2}-200$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Gehitu 200 bi aldeetan.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$15x-x^{2}+100=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}+15x+100=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+100 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -100 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

15 batura duen parea da soluzioa.

$$a=20 b=-5$$

Berridatzi -x^{2}+15x+100 honela: \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta -5 bigarren taldean.

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

Deskonposatu x-20 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-20=0 eta -x-5=0.

$$x=20 x=-5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -10,10 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15\left(x-10\right)\left(x+10\right) balioarekin (x^{2}-100,15 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

30 lortzeko, biderkatu 15 eta 2.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-10 biderkatzeko.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-20 eta x+10 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$30x=2x^{2}-200$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Gehitu 200 bi aldeetan.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, 30 balioa b balioarekin, eta 200 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 30 ber bi.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider 200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 900 eta 1600.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 2500 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-30±50}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -30 eta 50.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Zatitu 20 balioa -4 balioarekin.

$$x=-5$$

Orain, ebatzi x=\frac{-30±50}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 50 ken -30.

$$x=-\frac{80}{-4}$$

Zatitu -80 balioa -4 balioarekin.

$$x=20$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-5 x=20$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -10,10 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15\left(x-10\right)\left(x+10\right) balioarekin (x^{2}-100,15 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

30 lortzeko, biderkatu 15 eta 2.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-10 biderkatzeko.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-20 eta x+10 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$30x=2x^{2}-200$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-2x^{2}+30x=-200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

Zatitu 30 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

Zatitu -200 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-15x=100$$

Zatitu -15 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{15}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{15}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{15}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Gehitu 100 eta \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

Atera x^{2}-15x+\frac{225}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=20 x=-5$$