Resolver 2x+1/x=4x

$$\frac { 2 x + 1 } { x } = 4 x$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0.809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0.309016994$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x.

$$2x+1=4xx$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$2x+1=4x^{2}$$

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-4x^{2}+2x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -4 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin -4 bider -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2\left(-4\right)}$$

Gehitu 4 eta 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2\left(-4\right)}$$

Atera 20 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 2 bider -4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Zatitu -2+2\sqrt{5} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{5} ken -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Zatitu -2-2\sqrt{5} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4} x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x.

$$2x+1=4xx$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$2x+1=4x^{2}$$

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-4x^{2}=-1$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-4x^{2}+2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

-4 balioarekin zatituz gero, -4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Murriztu \frac{2}{-4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-4}$$

Zatitu -1 balioa -4 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Zatitu -\frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$