Resolver 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+1\right) balioarekin (x,x+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 2 biderkatzeko.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

4x lortzeko, konbinatu 2x eta x\times 2.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x eta x+1 biderkatzeko.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

x lortzeko, konbinatu 4x eta -3x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -3x^{2}+ax+bx+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -6 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,6 -2,3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=3 b=-2$$

Berridatzi -3x^{2}+x+2 honela: \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Deskonposatu -x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+1=0 eta 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+1\right) balioarekin (x,x+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 2 biderkatzeko.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

4x lortzeko, konbinatu 2x eta x\times 2.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x eta x+1 biderkatzeko.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

x lortzeko, konbinatu 4x eta -3x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 1 eta 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±5}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Murriztu \frac{4}{-6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±5}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Zatitu -6 balioa -6 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+1\right) balioarekin (x,x+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 2 biderkatzeko.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

4x lortzeko, konbinatu 2x eta x\times 2.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x eta x+1 biderkatzeko.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

x lortzeko, konbinatu 4x eta -3x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3x^{2}=-2$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Zatitu 1 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Zatitu -2 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Zatitu -\frac{1}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{1}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Gehitu \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$