Resolver 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Ebatzi: x

$$x=5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -2,-1,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}+3x+2 eta 2 biderkatzeko.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

3x lortzeko, konbinatu 6x eta -3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

6 lortzeko, gehitu 4 eta 2.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-1 eta 4 biderkatzeko.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta -4x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

10 lortzeko, gehitu 6 eta 4.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -10 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,10 -2,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=5 b=-2$$

Berridatzi -x^{2}+3x+10 honela: \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Deskonposatu x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-5=0 eta -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

x aldagaia eta -2 ezin dira izan berdinak.

$$x=5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,-1,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}+3x+2 eta 2 biderkatzeko.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

3x lortzeko, konbinatu 6x eta -3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

6 lortzeko, gehitu 4 eta 2.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-1 eta 4 biderkatzeko.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta -4x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

10 lortzeko, gehitu 6 eta 4.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 9 eta 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±7}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Zatitu 4 balioa -2 balioarekin.

$$x=-2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±7}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Zatitu -10 balioa -2 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-2 x=5$$

x aldagaia eta -2 ezin dira izan berdinak.

$$x=5$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,-1,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}+3x+2 eta 2 biderkatzeko.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

3x lortzeko, konbinatu 6x eta -3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

6 lortzeko, gehitu 4 eta 2.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-1 eta 4 biderkatzeko.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta -4x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

-10 lortzeko, -4 balioari kendu 6.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Zatitu 3 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Zatitu -10 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-3x=10$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Gehitu 10 eta \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Atera x^{2}-3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5 x=-2$$

x aldagaia eta -2 ezin dira izan berdinak.

$$x=5$$