Resolver 2/3x^2+2x=1

$$\frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } + 2 x = 1$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{15}-3}{2}\approx 0.436491673$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}-3}{2}\approx -3.436491673$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{2}{3}x^{2}+2x=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{3}x^{2}+2x-1=1-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{2}{3}x^{2}+2x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{2}{3} balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times \frac{2}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{3}}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times \frac{2}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{3}}$$

Egin -4 bider \frac{2}{3}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-\frac{8}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{3}}$$

Egin -\frac{8}{3} bider -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+\frac{8}{3}}}{2\times \frac{2}{3}}$$

Gehitu 4 eta \frac{8}{3}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{\frac{20}{3}}}{2\times \frac{2}{3}}$$

Atera \frac{20}{3} balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±\frac{2\sqrt{15}}{3}}{2\times \frac{2}{3}}$$

Egin 2 bider \frac{2}{3}.

$$x=\frac{-2±\frac{2\sqrt{15}}{3}}{\frac{4}{3}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±\frac{2\sqrt{15}}{3}}{\frac{4}{3}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta \frac{2\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}}{3}-2}{\frac{4}{3}}$$

Zatitu -2+\frac{2\sqrt{15}}{3} balioa \frac{4}{3} frakzioarekin, -2+\frac{2\sqrt{15}}{3} balioa \frac{4}{3} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{\sqrt{15}-3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±\frac{2\sqrt{15}}{3}}{\frac{4}{3}} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{2\sqrt{15}}{3} ken -2.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}}{3}-2}{\frac{4}{3}}$$

Zatitu -2-\frac{2\sqrt{15}}{3} balioa \frac{4}{3} frakzioarekin, -2-\frac{2\sqrt{15}}{3} balioa \frac{4}{3} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{-\sqrt{15}-3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{15}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{15}-3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{2}{3}x^{2}+2x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{\frac{2}{3}x^{2}+2x}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}$$

\frac{2}{3} balioarekin zatituz gero, \frac{2}{3} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{\frac{2}{3}}x=\frac{1}{\frac{2}{3}}$$

Zatitu 2 balioa \frac{2}{3} frakzioarekin, 2 balioa \frac{2}{3} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}+3x=\frac{1}{\frac{2}{3}}$$

Zatitu 1 balioa \frac{2}{3} frakzioarekin, 1 balioa \frac{2}{3} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}+3x=\frac{3}{2}$$

Zatitu 3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}$$

Gehitu \frac{3}{2} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{15}{4}$$

Atera x^{2}+3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{15}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{15}-3}{2}$$