Resolver frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Ebatzi: b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Adierazi \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} balioaren izendatzailea zenbaki arrazional gisa. Horretarako, egin zenbakitzailea eta izendatzailea bider 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Kasurako: \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Egin 2 ber bi. Egin \sqrt{3} ber bi.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

1 lortzeko, 4 balioari kendu 3.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Zenbakiak batekin zatituz gero, berdin gelditzen dira.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

\left(2+\sqrt{3}\right)^{2} lortzeko, biderkatu 2+\sqrt{3} eta 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

\left(2+\sqrt{3}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

7 lortzeko, gehitu 4 eta 3.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Kendu a bi aldeetatik.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \sqrt{3} balioarekin.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

\sqrt{3} balioarekin zatituz gero, \sqrt{3} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Zatitu 4\sqrt{3}-a+7 balioa \sqrt{3} balioarekin.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Ebatzi: a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$