Resolver 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -250,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2x\left(x+250\right) balioarekin (x,x+250,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x+500 eta 1500 biderkatzeko.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

3000 lortzeko, biderkatu 2 eta 1500.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+250 biderkatzeko.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Kendu 250x bi aldeetatik.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

2750x lortzeko, konbinatu 3000x eta -250x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

-250x lortzeko, konbinatu 2750x eta -3000x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+750000 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -750000 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

250 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-750 b=1000$$

Berridatzi -x^{2}-250x+750000 honela: \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 1000 bigarren taldean.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Deskonposatu x-750 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-750=0 eta x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -250,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2x\left(x+250\right) balioarekin (x,x+250,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x+500 eta 1500 biderkatzeko.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

3000 lortzeko, biderkatu 2 eta 1500.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+250 biderkatzeko.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Kendu 250x bi aldeetatik.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

2750x lortzeko, konbinatu 3000x eta -250x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

-250x lortzeko, konbinatu 2750x eta -3000x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, -250 balioa b balioarekin, eta 750000 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -250 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 62500 eta 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 3062500 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

-250 zenbakiaren aurkakoa 250 da.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{250±1750}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 250 eta 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Zatitu 2000 balioa -2 balioarekin.

$$x=-1000$$

Orain, ebatzi x=\frac{250±1750}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 1750 ken 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Zatitu -1500 balioa -2 balioarekin.

$$x=750$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-1000 x=750$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -250,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2x\left(x+250\right) balioarekin (x,x+250,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x+500 eta 1500 biderkatzeko.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

3000 lortzeko, biderkatu 2 eta 1500.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+250 biderkatzeko.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Kendu 250x bi aldeetatik.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

2750x lortzeko, konbinatu 3000x eta -250x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Kendu 750000 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

-250x lortzeko, konbinatu 2750x eta -3000x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Zatitu -250 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Zatitu -750000 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+250x=750000$$

Zatitu 250 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 125 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 125 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Egin 125 ber bi.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Gehitu 750000 eta 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Atera x^{2}+250x+15625 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Sinplifikatu.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Egin ken 125 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=750 x=-1000$$