Resolver 10/(x+3)(x-7)-8/(x+3)(x-5)=x+10/(x-5)(x-7)

$$\frac { 10 } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } - \frac { 8 } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) } = \frac { x + 10 } { ( x - 5 ) ( x - 7 ) }$$

Ebatzi: x

$$x=-8$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -3,5,7 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right) balioarekin (\left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right) balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta 10 biderkatzeko.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-7 eta 8 biderkatzeko.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

8x-56 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

2x lortzeko, konbinatu 10x eta -8x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

6 lortzeko, gehitu -50 eta 56.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta x+10 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Kendu 13x bi aldeetatik.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

-11x lortzeko, konbinatu 2x eta -13x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Kendu 30 bi aldeetatik.

$$-11x+6-x^{2}-30=0$$

-24 lortzeko, 6 balioari kendu 30.

$$-11x-24-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}-11x-24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, -11 balioa b balioarekin, eta -24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -11 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider -24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 121 eta -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$x=\frac{11±5}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{11±5}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±5}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta 5.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Zatitu 16 balioa -2 balioarekin.

$$x=-8$$

Orain, ebatzi x=\frac{11±5}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Zatitu 6 balioa -2 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-8 x=-3$$

x aldagaia eta -3 ezin dira izan berdinak.

$$x=-8$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -3,5,7 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right) balioarekin (\left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right) balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta 10 biderkatzeko.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-7 eta 8 biderkatzeko.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

8x-56 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

2x lortzeko, konbinatu 10x eta -8x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

6 lortzeko, gehitu -50 eta 56.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta x+10 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Kendu 13x bi aldeetatik.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

-11x lortzeko, konbinatu 2x eta -13x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$-11x-x^{2}=30-6$$

24 lortzeko, 30 balioari kendu 6.

$$-11x-x^{2}=24$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}-11x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}-11x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{11}{-1}\right)x=\frac{24}{-1}$$

Zatitu -11 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+11x=\frac{24}{-1}$$

Zatitu 24 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+11x=-24$$

Zatitu 11 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{11}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{11}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{11}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Gehitu -24 eta \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Atera x^{2}+11x+\frac{121}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Egin ken \frac{11}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3 x=-8$$

x aldagaia eta -3 ezin dira izan berdinak.

$$x=-8$$