Resolver 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Ebatzi: x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 1,4 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4\left(x-4\right)\left(x-1\right) balioarekin (x-1,x-4,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 4x eta 4x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

-20 lortzeko, -16 balioari kendu 4.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta x-4 biderkatzeko.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5x-20 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Kendu 5x^{2} bi aldeetatik.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Gehitu 25x bi aldeetan.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

33x lortzeko, konbinatu 8x eta 25x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Kendu 20 bi aldeetatik.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

-40 lortzeko, -20 balioari kendu 20.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -5 balioa a balioarekin, 33 balioa b balioarekin, eta -40 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 33 ber bi.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Egin -4 bider -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 20 bider -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Gehitu 1089 eta -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Atera 289 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Egin 2 bider -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-33±17}{-10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -33 eta 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Murriztu \frac{-16}{-10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{8}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-33±17}{-10} ekuazioa ± minus denean. Egin 17 ken -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Zatitu -50 balioa -10 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta 1,4 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4\left(x-4\right)\left(x-1\right) balioarekin (x-1,x-4,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 4x eta 4x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

-20 lortzeko, -16 balioari kendu 4.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta x-4 biderkatzeko.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5x-20 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Kendu 5x^{2} bi aldeetatik.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Gehitu 25x bi aldeetan.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

33x lortzeko, konbinatu 8x eta 25x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Gehitu 20 bi aldeetan.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

40 lortzeko, gehitu 20 eta 20.

$$33x-5x^{2}=40$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

-5 balioarekin zatituz gero, -5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Zatitu 33 balioa -5 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Zatitu 40 balioa -5 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Zatitu -\frac{33}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{33}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{33}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{33}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Gehitu -8 eta \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Atera x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Gehitu \frac{33}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$