Resolver 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10.352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1.352349955$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+1\right) balioarekin (x,x+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

5x lortzeko, konbinatu x eta x\times 4.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+1 biderkatzeko.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

6x lortzeko, konbinatu 5x eta x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 15 biderkatzeko.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Kendu 15x bi aldeetatik.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

-9x lortzeko, konbinatu 6x eta -15x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Kendu 15 bi aldeetatik.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

-14 lortzeko, 1 balioari kendu 15.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta -14 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Egin -9 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Gehitu 81 eta 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{137} ken 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+1\right) balioarekin (x,x+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

5x lortzeko, konbinatu x eta x\times 4.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+1 biderkatzeko.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

6x lortzeko, konbinatu 5x eta x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 15 biderkatzeko.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Kendu 15x bi aldeetatik.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

-9x lortzeko, konbinatu 6x eta -15x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

14 lortzeko, 15 balioari kendu 1.

$$-9x+x^{2}=14$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-9x=14$$

Zatitu -9 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Gehitu 14 eta \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Atera x^{2}-9x+\frac{81}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Gehitu \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$