Resolver 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

Ebazpidea

x aldagaia eta -8,-5,-2,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right) balioarekin (x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 21 eta x+5 biderkatzeko.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 21x+105 eta x+8 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 21 eta x-1 biderkatzeko.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 21x-21 eta x+8 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

42x^{2} lortzeko, konbinatu 21x^{2} eta 21x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

420x lortzeko, konbinatu 273x eta 147x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

672 lortzeko, 840 balioari kendu 168.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 21 eta x+2 biderkatzeko.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 21x+42 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

63x^{2} lortzeko, konbinatu 42x^{2} eta 21x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

441x lortzeko, konbinatu 420x eta 21x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

630 lortzeko, 672 balioari kendu 42.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7 eta x+2 biderkatzeko.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7x+14 eta x+5 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7x^{2}+49x+70 eta x+8 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

-1 lortzeko, biderkatu 21 eta -\frac{1}{21}.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -1 eta x-1 biderkatzeko.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -x+1 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -x^{2}-x+2 eta x+5 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -x^{3}-6x^{2}-3x+10 eta x+8 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

-7x^{3} lortzeko, konbinatu 7x^{3} eta -14x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

54x^{2} lortzeko, konbinatu 105x^{2} eta -51x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

448x lortzeko, konbinatu 462x eta -14x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

640 lortzeko, gehitu 560 eta 80.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Gehitu 7x^{3} bi aldeetan.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Kendu 54x^{2} bi aldeetatik.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

9x^{2} lortzeko, konbinatu 63x^{2} eta -54x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Kendu 448x bi aldeetatik.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

-7x lortzeko, konbinatu 441x eta -448x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Kendu 640 bi aldeetatik.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

-10 lortzeko, 630 balioari kendu 640.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Gehitu x^{4} bi aldeetan.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Berrantolatu ekuazioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Erro arrazionalaren teoremari jarraikiz, polinomioen erro arrazional guztiek \frac{p}{q} forma dute, non p balioak -10 balio konstantea zatitzen duen, eta q balioak 1 koefiziente nagusia zatitzen duen. Zerrendatu hautagai guztiak \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Aurkitu halako erro bat osoko balio guztiak probatuta, balio txikienetik hasita, eta balio absolutuak erabiliz. Ez baduzu aurkitzen osoko errorik, probatu zatikiak.

$$x=1$$

Biderkagaien teoremari jarraikiz, polinomioaren biderkagai bat da x-k, k erro bakoitzeko. x^{3}+8x^{2}+17x+10 lortzeko, zatitu x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 x-1 balioarekin. Ebatzi ekuazioa, hura eta 0 berdinak izan arte.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Erro arrazionalaren teoremari jarraikiz, polinomioen erro arrazional guztiek \frac{p}{q} forma dute, non p balioak 10 balio konstantea zatitzen duen, eta q balioak 1 koefiziente nagusia zatitzen duen. Zerrendatu hautagai guztiak \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Aurkitu halako erro bat osoko balio guztiak probatuta, balio txikienetik hasita, eta balio absolutuak erabiliz. Ez baduzu aurkitzen osoko errorik, probatu zatikiak.

$$x=-1$$

Biderkagaien teoremari jarraikiz, polinomioaren biderkagai bat da x-k, k erro bakoitzeko. x^{2}+7x+10 lortzeko, zatitu x^{3}+8x^{2}+17x+10 x+1 balioarekin. Ebatzi ekuazioa, hura eta 0 berdinak izan arte.

$$x^{2}+7x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Ebatzi x^{2}+7x+10=0 ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=-5 x=-2$$

Kendu aldagaiaren berdinak izan ezin diren balioak.

$$x=-1$$

Zerrendatu aurkitutako ebazpen guztiak.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

x aldagaia ezin da etorri bat balio hauetako batekin: 1,-5,-2.

$$x=-1$$