Resolver 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -1,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)\left(x+1\right) balioarekin (x+1,x-1,x^{2}-1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 2 biderkatzeko.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

3x lortzeko, konbinatu x eta 2x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

1 lortzeko, gehitu -1 eta 2.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 1 eta 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Zatitu -1+\sqrt{5} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{5} ken -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Zatitu -1-\sqrt{5} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -1,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)\left(x+1\right) balioarekin (x+1,x-1,x^{2}-1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Erabili banaketa-propietatea x+1 eta 2 biderkatzeko.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

3x lortzeko, konbinatu x eta 2x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

1 lortzeko, gehitu -1 eta 2.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-x^{2}=-1$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}+x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Zatitu 1 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Zatitu -1 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-x=1$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Gehitu 1 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$