Resolver 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0.907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3.307130751$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{1}{3} balioa a balioarekin, \frac{4}{5} balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Egin \frac{4}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Egin -4 bider \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Egin -\frac{4}{3} bider -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Gehitu \frac{16}{25} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Atera \frac{148}{75} balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Egin 2 bider \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -\frac{4}{5} eta \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Zatitu -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} balioa \frac{2}{3} frakzioarekin, -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} balioa \frac{2}{3} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{2\sqrt{111}}{15} ken -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Zatitu -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} balioa \frac{2}{3} frakzioarekin, -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} balioa \frac{2}{3} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

\frac{1}{3} balioarekin zatituz gero, \frac{1}{3} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Zatitu \frac{4}{5} balioa \frac{1}{3} frakzioarekin, \frac{4}{5} balioa \frac{1}{3} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Zatitu 1 balioa \frac{1}{3} frakzioarekin, 1 balioa \frac{1}{3} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Zatitu \frac{12}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{6}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{6}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Egin \frac{6}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Gehitu 3 eta \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Atera x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Egin ken \frac{6}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$