Resolver 1/15x^2-3/10x+1/3=0

$$\frac { 1 } { 15 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 1 } { 3 } = 0$$

Ebatzi: x

$$x=2$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{1}{15} balioa a balioarekin, -\frac{3}{10} balioa b balioarekin, eta \frac{1}{3} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Egin -\frac{3}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Egin -4 bider \frac{1}{15}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Egin -\frac{4}{15} bider \frac{1}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{45}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Gehitu \frac{9}{100} eta -\frac{4}{45} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{1}{900}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Atera \frac{1}{900} balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

-\frac{3}{10} zenbakiaren aurkakoa \frac{3}{10} da.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Egin 2 bider \frac{1}{15}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{3}{10} eta \frac{1}{30} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{15}}$$

Zatitu \frac{1}{3} balioa \frac{2}{15} frakzioarekin, \frac{1}{3} balioa \frac{2}{15} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{1}{30} ken \frac{3}{10} izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{15}}$$

Zatitu \frac{4}{15} balioa \frac{2}{15} frakzioarekin, \frac{4}{15} balioa \frac{2}{15} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Egin ken \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x=-\frac{1}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$\frac{\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x}{\frac{1}{15}}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

\frac{1}{15} balioarekin zatituz gero, \frac{1}{15} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}}\right)x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Zatitu -\frac{3}{10} balioa \frac{1}{15} frakzioarekin, -\frac{3}{10} balioa \frac{1}{15} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Zatitu -\frac{1}{3} balioa \frac{1}{15} frakzioarekin, -\frac{1}{3} balioa \frac{1}{15} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-5$$

Zatitu -\frac{9}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-5+\frac{81}{16}$$

Gehitu -5 eta \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{9}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$