Resolver 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4.791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0.208712153$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,2,3 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) balioarekin (x-3,x^{2}-4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-3 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta -2x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Gehitu 5x bi aldeetan.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

-1 lortzeko, gehitu -4 eta 3.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 25 eta -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Zatitu -5+\sqrt{21} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{21} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Zatitu -5-\sqrt{21} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,2,3 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right) balioarekin (x-3,x^{2}-4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-3 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta -2x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Gehitu 5x bi aldeetan.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

1 lortzeko, gehitu -3 eta 4.

$$-x^{2}+5x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Zatitu 5 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Zatitu 1 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-5x=-1$$

Zatitu -5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Gehitu -1 eta \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Atera x^{2}-5x+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$