Resolver (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3.862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2.362474899$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -\frac{1}{2},\frac{1}{2} balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) balioarekin (1-4x^{2},4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta x+3 biderkatzeko.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -4x-12 eta 6-x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -1 eta 2x-1 biderkatzeko.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -2x+1 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Gehitu 4x^{2} bi aldeetan.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

8x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta 4x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

-73 lortzeko, -72 balioari kendu 1.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta -73 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -73.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

Gehitu 144 eta 2336.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

Atera 2480 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 4\sqrt{155}.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

Zatitu 12+4\sqrt{155} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{155} ken 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

Zatitu 12-4\sqrt{155} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -\frac{1}{2},\frac{1}{2} balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) balioarekin (1-4x^{2},4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta x+3 biderkatzeko.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -4x-12 eta 6-x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -1 eta 2x-1 biderkatzeko.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -2x+1 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Gehitu 4x^{2} bi aldeetan.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

8x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta 4x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Gehitu 72 bi aldeetan.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

73 lortzeko, gehitu 1 eta 72.

$$-12x+8x^{2}=73$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-12x=73$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

Murriztu \frac{-12}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

Gehitu \frac{73}{8} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$