Lahenda y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Lahendage ja leidke y,x

$$x=12$$

$$y=38$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see y-väärtuse suhtes, isoleerides y võrdusmärgist vasakule.

$$y-3x=2$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 3x.

$$y=3x+2$$

Asendage y teises võrrandis -2y+7x=8 väärtusega 3x+2.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Korrutage omavahel -2 ja 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Liitke -6x ja 7x.

$$x-4=8$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 4.

$$x=12$$

Asendage x võrrandis y=3x+2 väärtusega 12. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y=3\times 12+2$$

Korrutage omavahel 3 ja 12.

$$y=36+2$$

Liitke 2 ja 36.

$$y=38$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=38,x=12$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid y ja x.

$$y=38,x=12$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

y ja -2y võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed -2-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Lihtsustage.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Lahutage -2y+7x=8 võrrandist -2y+6x=-4, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Liitke -2y ja 2y. Liikmed -2y ja 2y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$6x-7x=-4-8$$

Liitke 6x ja -7x.

$$-x=-4-8$$

Liitke -4 ja -8.

$$-x=-12$$

Jagage mõlemad pooled -1-ga.

$$x=12$$

Asendage x võrrandis -2y+7x=8 väärtusega 12. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$-2y+7\times 12=8$$

Korrutage omavahel 7 ja 12.

$$-2y+84=8$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 84.

$$-2y=-76$$

Jagage mõlemad pooled -2-ga.

$$y=38$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=38,x=12$$