Lahenda y=5x-43text{and}3x+5y=9

$$y = 5 x - 43 \text { and } 3 x + 5 y = 9$$

Lahendage ja leidke y,x

$$x=8$$

$$y=-3$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 5x.

$$y-5x=-43$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see y-väärtuse suhtes, isoleerides y võrdusmärgist vasakule.

$$y-5x=-43$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5x.

$$y=5x-43$$

Asendage y teises võrrandis 5y+3x=9 väärtusega 5x-43.

$$5\left(5x-43\right)+3x=9$$

Korrutage omavahel 5 ja 5x-43.

$$25x-215+3x=9$$

Liitke 25x ja 3x.

$$28x-215=9$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 215.

$$28x=224$$

Jagage mõlemad pooled 28-ga.

$$x=8$$

Asendage x võrrandis y=5x-43 väärtusega 8. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y=5\times 8-43$$

Korrutage omavahel 5 ja 8.

$$y=40-43$$

Liitke -43 ja 40.

$$y=-3$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=-3,x=8$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 5x.

$$y-5x=-43$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}&\frac{5}{28}\\-\frac{5}{28}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}\left(-43\right)+\frac{5}{28}\times 9\\-\frac{5}{28}\left(-43\right)+\frac{1}{28}\times 9\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid y ja x.

$$y=-3,x=8$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 5x.

$$y-5x=-43$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

y ja 5y võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 5-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$5y+5\left(-5\right)x=5\left(-43\right),5y+3x=9$$

Lihtsustage.

$$5y-25x=-215,5y+3x=9$$

Lahutage 5y+3x=9 võrrandist 5y-25x=-215, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$5y-5y-25x-3x=-215-9$$

Liitke 5y ja -5y. Liikmed 5y ja -5y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-25x-3x=-215-9$$

Liitke -25x ja -3x.

$$-28x=-215-9$$

Liitke -215 ja -9.

$$-28x=-224$$

Jagage mõlemad pooled -28-ga.

$$x=8$$

Asendage x võrrandis 5y+3x=9 väärtusega 8. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$5y+3\times 8=9$$

Korrutage omavahel 3 ja 8.

$$5y+24=9$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 24.

$$5y=-15$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$y=-3$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=-3,x=8$$