Lahenda y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Lahendage ja leidke y,x

$$x=2$$

$$y=5$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 2x.

$$y-2x=1$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see y-väärtuse suhtes, isoleerides y võrdusmärgist vasakule.

$$y-2x=1$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2x.

$$y=2x+1$$

Asendage y teises võrrandis y+x=7 väärtusega 2x+1.

$$2x+1+x=7$$

Liitke 2x ja x.

$$3x+1=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$3x=6$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=2$$

Asendage x võrrandis y=2x+1 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y=2\times 2+1$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$y=4+1$$

Liitke 1 ja 4.

$$y=5$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=5,x=2$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 2x.

$$y-2x=1$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid y ja x.

$$y=5,x=2$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 2x.

$$y-2x=1$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Lahutage y+x=7 võrrandist y-2x=1, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Liitke y ja -y. Liikmed y ja -y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-2x-x=1-7$$

Liitke -2x ja -x.

$$-3x=1-7$$

Liitke 1 ja -7.

$$-3x=-6$$

Jagage mõlemad pooled -3-ga.

$$x=2$$

Asendage x võrrandis y+x=7 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y+2=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2.

$$y=5$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=5,x=2$$