Lahenda y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Lahendage ja leidke y,x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest \frac{4}{3}x.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 2x.

$$y-2x=8$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see y-väärtuse suhtes, isoleerides y võrdusmärgist vasakule.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{4x}{3}.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Asendage y teises võrrandis y-2x=8 väärtusega \frac{-28+4x}{3}.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Liitke \frac{4x}{3} ja -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{28}{3}.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega -\frac{2}{3}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$x=-26$$

Asendage x võrrandis y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3} väärtusega -26. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Korrutage omavahel \frac{4}{3} ja -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Liitke -\frac{28}{3} ja -\frac{104}{3}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$y=-44$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=-44,x=-26$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest \frac{4}{3}x.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 2x.

$$y-2x=8$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid y ja x.

$$y=-44,x=-26$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest \frac{4}{3}x.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 2x.

$$y-2x=8$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Lahutage y-2x=8 võrrandist y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Liitke y ja -y. Liikmed y ja -y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Liitke -\frac{4x}{3} ja 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Liitke -\frac{28}{3} ja -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{2}{3}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$x=-26$$

Asendage x võrrandis y-2x=8 väärtusega -26. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Korrutage omavahel -2 ja -26.

$$y+52=8$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 52.

$$y=-44$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=-44,x=-26$$