Lahenda y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Lahendage ja leidke y,x

$$x=18$$

$$y=6$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest \frac{1}{3}x.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vaatleme teist võrrandit. Liitke 3x mõlemale poolele.

$$y+3x=60$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see y-väärtuse suhtes, isoleerides y võrdusmärgist vasakule.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{x}{3}.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Asendage y teises võrrandis y+3x=60 väärtusega \frac{x}{3}.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Liitke \frac{x}{3} ja 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{10}{3}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$x=18$$

Asendage x võrrandis y=\frac{1}{3}x väärtusega 18. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Korrutage omavahel \frac{1}{3} ja 18.

$$y=6$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=6,x=18$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest \frac{1}{3}x.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vaatleme teist võrrandit. Liitke 3x mõlemale poolele.

$$y+3x=60$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid y ja x.

$$y=6,x=18$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Lahutage mõlemast poolest \frac{1}{3}x.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vaatleme teist võrrandit. Liitke 3x mõlemale poolele.

$$y+3x=60$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Lahutage y+3x=60 võrrandist y-\frac{1}{3}x=0, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Liitke y ja -y. Liikmed y ja -y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Liitke -\frac{x}{3} ja -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega -\frac{10}{3}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$x=18$$

Asendage x võrrandis y+3x=60 väärtusega 18. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y+3\times 18=60$$

Korrutage omavahel 3 ja 18.

$$y+54=60$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 54.

$$y=6$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=6,x=18$$