Lahenda x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=32$$

$$y=27$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x-y=5$$

Liitke võrrandi mõlema poolega y.

$$x=y+5$$

Asendage x teises võrrandis -4x+5y=7 väärtusega y+5.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Korrutage omavahel -4 ja y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Liitke -4y ja 5y.

$$y-20=7$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 20.

$$y=27$$

Asendage y võrrandis x=y+5 väärtusega 27. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=27+5$$

Liitke 5 ja 27.

$$x=32$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=32,y=27$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=32,y=27$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

x ja -4x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed -4-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Lihtsustage.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Lahutage -4x+5y=7 võrrandist -4x+4y=-20, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Liitke -4x ja 4x. Liikmed -4x ja 4x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$4y-5y=-20-7$$

Liitke 4y ja -5y.

$$-y=-20-7$$

Liitke -20 ja -7.

$$-y=-27$$

Jagage mõlemad pooled -1-ga.

$$y=27$$

Asendage y võrrandis -4x+5y=7 väärtusega 27. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$-4x+5\times 27=7$$

Korrutage omavahel 5 ja 27.

$$-4x+135=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 135.

$$-4x=-128$$

Jagage mõlemad pooled -4-ga.

$$x=32$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=32,y=27$$