Lahenda x-3y=9;2x+y=1

$$x - 3 y = 9 ; 2 x + y = 1$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1,714285714$$

$$y = -\frac{17}{7} = -2\frac{3}{7} \approx -2,428571429$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x-3y=9,2x+y=1$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x-3y=9$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 3y.

$$x=3y+9$$

Asendage x teises võrrandis 2x+y=1 väärtusega 9+3y.

$$2\left(3y+9\right)+y=1$$

Korrutage omavahel 2 ja 9+3y.

$$6y+18+y=1$$

Liitke 6y ja y.

$$7y+18=1$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 18.

$$7y=-17$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$y=-\frac{17}{7}$$

Asendage y võrrandis x=3y+9 väärtusega -\frac{17}{7}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=3\left(-\frac{17}{7}\right)+9$$

Korrutage omavahel 3 ja -\frac{17}{7}.

$$x=-\frac{51}{7}+9$$

Liitke 9 ja -\frac{51}{7}.

$$x=\frac{12}{7}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{12}{7},y=-\frac{17}{7}$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x-3y=9,2x+y=1$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 9+\frac{3}{7}\\-\frac{2}{7}\times 9+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\\-\frac{17}{7}\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=\frac{12}{7},y=-\frac{17}{7}$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x-3y=9,2x+y=1$$

x ja 2x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 2-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\times 9,2x+y=1$$

Lihtsustage.

$$2x-6y=18,2x+y=1$$

Lahutage 2x+y=1 võrrandist 2x-6y=18, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$2x-2x-6y-y=18-1$$

Liitke 2x ja -2x. Liikmed 2x ja -2x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-6y-y=18-1$$

Liitke -6y ja -y.

$$-7y=18-1$$

Liitke 18 ja -1.

$$-7y=17$$

Jagage mõlemad pooled -7-ga.

$$y=-\frac{17}{7}$$

Asendage y võrrandis 2x+y=1 väärtusega -\frac{17}{7}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$2x-\frac{17}{7}=1$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{17}{7}.

$$2x=\frac{24}{7}$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$x=\frac{12}{7}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{12}{7},y=-\frac{17}{7}$$