Lahenda x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x-3y=7$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 3y.

$$x=3y+7$$

Asendage x teises võrrandis 3x+3y=9 väärtusega 3y+7.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Korrutage omavahel 3 ja 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Liitke 9y ja 3y.

$$12y+21=9$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 21.

$$12y=-12$$

Jagage mõlemad pooled 12-ga.

$$y=-1$$

Asendage y võrrandis x=3y+7 väärtusega -1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Korrutage omavahel 3 ja -1.

$$x=-3+7$$

Liitke 7 ja -3.

$$x=4$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=4,y=-1$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=4,y=-1$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

x ja 3x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Lihtsustage.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Lahutage 3x+3y=9 võrrandist 3x-9y=21, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Liitke 3x ja -3x. Liikmed 3x ja -3x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-9y-3y=21-9$$

Liitke -9y ja -3y.

$$-12y=21-9$$

Liitke 21 ja -9.

$$-12y=12$$

Jagage mõlemad pooled -12-ga.

$$y=-1$$

Asendage y võrrandis 3x+3y=9 väärtusega -1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Korrutage omavahel 3 ja -1.

$$3x-3=9$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 3.

$$3x=12$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=4$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=4,y=-1$$