Lahenda x^4-x^3+x=1

$$x ^ { 4 } - x ^ { 3 } + x = 1$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-0,866025404i$$

$$x=1$$

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

$$x=-1$$

Lahenduse etapid

Lahutage mõlemast poolest 1.

$$x^{4}-x^{3}+x-1=0$$

Ratsionaalse juure teoreemi abil on polünoomi kõik ratsionaalsed juured \frac{p}{q}, kus ptakse konstantne termin -1 ja q jagatakse juhtivat koefitsienti 1. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±1$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=1$$

Faktori teoreem, x-k on iga juur-k polünoomi. Jagage x^{4}-x^{3}+x-1 väärtusega x-1, et leida x^{3}+1. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$x^{3}+1=0$$

Ratsionaalse juure teoreemi abil on polünoomi kõik ratsionaalsed juured \frac{p}{q}, kus ptakse konstantne termin 1 ja q jagatakse juhtivat koefitsienti 1. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±1$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=-1$$

Faktori teoreem, x-k on iga juur-k polünoomi. Jagage x^{3}+1 väärtusega x+1, et leida x^{2}-x+1. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$x^{2}-x+1=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 1, b väärtusega -1 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Tehke arvutustehted.

$$x=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Lahendage võrrand x^{2}-x+1=0, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Loetlege kõik leitud lahendused.

$$x=1 x=-1 x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-1$$

$$x=1$$

Lahenduse etapid

Lahutage mõlemast poolest 1.

$$x^{4}-x^{3}+x-1=0$$

Ratsionaalse juure teoreemi abil on polünoomi kõik ratsionaalsed juured \frac{p}{q}, kus ptakse konstantne termin -1 ja q jagatakse juhtivat koefitsienti 1. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±1$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=1$$

Faktori teoreem, x-k on iga juur-k polünoomi. Jagage x^{4}-x^{3}+x-1 väärtusega x-1, et leida x^{3}+1. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$x^{3}+1=0$$

Ratsionaalse juure teoreemi abil on polünoomi kõik ratsionaalsed juured \frac{p}{q}, kus ptakse konstantne termin 1 ja q jagatakse juhtivat koefitsienti 1. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±1$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=-1$$

Faktori teoreem, x-k on iga juur-k polünoomi. Jagage x^{3}+1 väärtusega x+1, et leida x^{2}-x+1. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$x^{2}-x+1=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 1, b väärtusega -1 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Tehke arvutustehted.

$$x=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Kuna negatiivse arvu ruutjuurt pole reaalväljal määratletud, siis lahendeid pole.

$$x\in \emptyset$$

Loetlege kõik leitud lahendused.

$$x=1 x=-1$$