Lahenda x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Lahenda väärtuse x leidmiseks

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Võrratuse lahendamiseks lahutage vasak pool teguriteks. Ruutpolünoomi saab teguriteks lahutada teisendusega ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kus x_{1} ja x_{2} on ruutvõrrandi ax^{2}+bx+c=0 lahendid.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 1, b väärtusega -2 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Tehke arvutustehted.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Kirjutage võrratus saadud lahendeid kasutades ümber.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Et korrutis oleks ≤0, peab üks väärtustest x-\left(\sqrt{2}+1\right) ja x-\left(1-\sqrt{2}\right) olema ≥0 ning teine ≤0. Kaaluge olukorda, kui x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 ja x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

See ei kehti ühegi muutuja x väärtuse korral.

$$x\in \emptyset$$

Kaaluge olukorda, kui x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 ja x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Mõlemaid võrratusi rahuldav lahend on x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Lõplik lahend on saadud lahendite ühend.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$