Lahenda x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest x^{2}+11.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Avaldise "x^{2}+11" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Lahutage 11 väärtusest 42, et leida 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}+11} ja leidke x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(31-x^{2}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Astme tõstmiseks mõnda teise astmesse korrutage astendajad. Korrutage 2 ja 2, et saada 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Lahutage mõlemast poolest 961.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Lahutage 961 väärtusest 11, et leida -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Liitke 62x^{2} mõlemale poolele.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Kombineerige x^{2} ja 62x^{2}, et leida 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Lahutage mõlemast poolest x^{4}.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Asendage x^{2} väärtusega t.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega -1, b väärtusega 63 ja c väärtusega -950.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Tehke arvutustehted.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Lahendage võrrand t=\frac{-63±13}{-2}, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$t=25 t=38$$

Pärast x=t^{2} on lahendused hangitud x=±\sqrt{t} iga t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Asendage x võrrandis x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 väärtusega 5.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Lihtsustage. Väärtus x=5 vastab võrrandile.

$$42=42$$

Asendage x võrrandis x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 väärtusega -5.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Lihtsustage. Väärtus x=-5 vastab võrrandile.

$$42=42$$

Asendage x võrrandis x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 väärtusega \sqrt{38}.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Lihtsustage. Väärtus x=\sqrt{38} ei vasta võrrandit.

$$56=42$$

Asendage x võrrandis x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 väärtusega -\sqrt{38}.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Lihtsustage. Väärtus x=-\sqrt{38} ei vasta võrrandit.

$$56=42$$

Loetle kõik võrrandi \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2} lahendused.

$$x=5 x=-5$$