Lahenda x:y=15:13text{e}x-y=8

$$x : y = 15 : 13 \text { e } x - y = 8$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=60$$

$$y=52$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Muutuja y ei tohi võrduda väärtusega 0, kuna nulliga jagamist pole määratletud. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 13y, mis on arvu y,13 vähim ühiskordne.

$$13x=15y$$

Jagage mõlemad pooled 13-ga.

$$x=\frac{1}{13}\times 15y$$

Korrutage omavahel \frac{1}{13} ja 15y.

$$x=\frac{15}{13}y$$

Asendage x teises võrrandis x-y=8 väärtusega \frac{15y}{13}.

$$\frac{15}{13}y-y=8$$

Liitke \frac{15y}{13} ja -y.

$$\frac{2}{13}y=8$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{2}{13}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=52$$

Asendage y võrrandis x=\frac{15}{13}y väärtusega 52. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{15}{13}\times 52$$

Korrutage omavahel \frac{15}{13} ja 52.

$$x=60$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=60,y=52$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Muutuja y ei tohi võrduda väärtusega 0, kuna nulliga jagamist pole määratletud. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 13y, mis on arvu y,13 vähim ühiskordne.

$$13x=15y$$

Lahutage mõlemast poolest 15y.

$$13x-15y=0$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$13x-15y=0,x-y=8$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-15\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}&\frac{13}{13\left(-1\right)-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{15}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{13}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\times 8\\\frac{13}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\52\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=60,y=52$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Muutuja y ei tohi võrduda väärtusega 0, kuna nulliga jagamist pole määratletud. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 13y, mis on arvu y,13 vähim ühiskordne.

$$13x=15y$$

Lahutage mõlemast poolest 15y.

$$13x-15y=0$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$13x-15y=0,x-y=8$$

13x ja x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 13-ga.

$$13x-15y=0,13x+13\left(-1\right)y=13\times 8$$

Lihtsustage.

$$13x-15y=0,13x-13y=104$$

Lahutage 13x-13y=104 võrrandist 13x-15y=0, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$13x-13x-15y+13y=-104$$

Liitke 13x ja -13x. Liikmed 13x ja -13x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-15y+13y=-104$$

Liitke -15y ja 13y.

$$-2y=-104$$

Jagage mõlemad pooled -2-ga.

$$y=52$$

Asendage y võrrandis x-y=8 väärtusega 52. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x-52=8$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 52.

$$x=60$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=60,y=52$$