Lahenda x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=3$$

$$y=1$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x+3y=6$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 3y.

$$x=-3y+6$$

Asendage x teises võrrandis 5x-2y=13 väärtusega -3y+6.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Korrutage omavahel 5 ja -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Liitke -15y ja -2y.

$$-17y+30=13$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 30.

$$-17y=-17$$

Jagage mõlemad pooled -17-ga.

$$y=1$$

Asendage y võrrandis x=-3y+6 väärtusega 1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-3+6$$

Liitke 6 ja -3.

$$x=3$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=3,y=1$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=3,y=1$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

x ja 5x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 5-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Lihtsustage.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Lahutage 5x-2y=13 võrrandist 5x+15y=30, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Liitke 5x ja -5x. Liikmed 5x ja -5x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$15y+2y=30-13$$

Liitke 15y ja 2y.

$$17y=30-13$$

Liitke 30 ja -13.

$$17y=17$$

Jagage mõlemad pooled 17-ga.

$$y=1$$

Asendage y võrrandis 5x-2y=13 väärtusega 1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$5x-2=13$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2.

$$5x=15$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$x=3$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=3,y=1$$