Lahenda x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x+2y=-1$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2y.

$$x=-2y-1$$

Asendage x teises võrrandis 2x-3y=12 väärtusega -2y-1.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Korrutage omavahel 2 ja -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Liitke -4y ja -3y.

$$-7y-2=12$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2.

$$-7y=14$$

Jagage mõlemad pooled -7-ga.

$$y=-2$$

Asendage y võrrandis x=-2y-1 väärtusega -2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Korrutage omavahel -2 ja -2.

$$x=4-1$$

Liitke -1 ja 4.

$$x=3$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=3,y=-2$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=3,y=-2$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

x ja 2x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 2-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Lihtsustage.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Lahutage 2x-3y=12 võrrandist 2x+4y=-2, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Liitke 2x ja -2x. Liikmed 2x ja -2x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$4y+3y=-2-12$$

Liitke 4y ja 3y.

$$7y=-2-12$$

Liitke -2 ja -12.

$$7y=-14$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$y=-2$$

Asendage y võrrandis 2x-3y=12 väärtusega -2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Korrutage omavahel -3 ja -2.

$$2x+6=12$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 6.

$$2x=6$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$x=3$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=3,y=-2$$