Lahenda 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Lahendage ja leidke y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 9, b väärtusega -12 ja c väärtusega 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Tõstke -12 ruutu.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -4 ja 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -36 ja 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Liitke 144 ja -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Leidke 72 ruutjuur.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Arvu -12 vastand on 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel 2 ja 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Nüüd lahendage võrrand y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, kui ± on pluss. Liitke 12 ja 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Jagage 12+6\sqrt{2} väärtusega 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, kui ± on miinus. Lahutage 6\sqrt{2} väärtusest 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Jagage 12-6\sqrt{2} väärtusega 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

2 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Jagage mõlemad pooled 9-ga.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

9-ga jagamine võtab 9-ga korrutamise tagasi.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Taandage murd \frac{-12}{9} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{4}{3} 2-ga, et leida -\frac{2}{3}. Seejärel liitke -\frac{2}{3} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{2}{3} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Liitke -\frac{2}{9} ja \frac{4}{9}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Lahutage y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Lihtsustage.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{2}{3}.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$