Lahenda 9x^2-6x+3=0

$$9 x ^ { 2 } - 6 x + 3 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}\approx 0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}\approx 0,333333333-0,471404521i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$9x^{2}-6x+3=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 9, b väärtusega -6 ja c väärtusega 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

Tõstke -6 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-36\times 3}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -36 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-108}}{2\times 9}$$

Liitke 36 ja -108.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-72}}{2\times 9}$$

Leidke -72 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Arvu -6 vastand on 6.

$$x=\frac{6±6\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel 2 ja 9.

$$x=\frac{6±6\sqrt{2}i}{18}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{6±6\sqrt{2}i}{18}, kui ± on pluss. Liitke 6 ja 6i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+6\sqrt{2}i}{18}$$

Jagage 6+6i\sqrt{2} väärtusega 18.

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{6±6\sqrt{2}i}{18}, kui ± on miinus. Lahutage 6i\sqrt{2} väärtusest 6.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i+6}{18}$$

Jagage 6-6i\sqrt{2} väärtusega 18.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-6x+3=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 3.

$$9x^{2}-6x+3-3=-3$$

3 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$9x^{2}-6x=-3$$

Jagage mõlemad pooled 9-ga.

$$\frac{9x^{2}-6x}{9}=-\frac{3}{9}$$

9-ga jagamine võtab 9-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{9}\right)x=-\frac{3}{9}$$

Taandage murd \frac{-6}{9} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{9}$$

Taandage murd \frac{-3}{9} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{2}{3} 2-ga, et leida -\frac{1}{3}. Seejärel liitke -\frac{1}{3} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{1}{3} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Liitke -\frac{1}{3} ja \frac{1}{9}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Lahutage x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{1}{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}$$