Lahenda 9x^2+42x=15

$$9 x ^ { 2 } + 42 x = 15$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Lahutage mõlemast poolest 15.

$$9x^{2}+42x-15=0$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$3x^{2}+14x-5=0$$

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 3x^{2}+ax+bx-5. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on positiivne, on positiivne arv suurem kui negatiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -15.

$$-1,15 -3,5$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Lahendus on paar, mis annab summa 14.

$$a=-1 b=15$$

Kirjutage3x^{2}+14x-5 ümber kujul \left(3x^{2}-x\right)+\left(15x-5\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(15x-5\right)$$

Lahutage x esimesel ja 5 teise rühma.

$$x\left(3x-1\right)+5\left(3x-1\right)$$

Tooge liige 3x-1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(3x-1\right)\left(x+5\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 3x-1=0 ja x+5=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$9x^{2}+42x=15$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 15.

$$9x^{2}+42x-15=15-15$$

15 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$9x^{2}+42x-15=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 9, b väärtusega 42 ja c väärtusega -15.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Tõstke 42 ruutu.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -4 ja 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -36 ja -15.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764+540}}{2\times 9}$$

Liitke 1764 ja 540.

$$x=\frac{-42±\sqrt{2304}}{2\times 9}$$

Leidke 2304 ruutjuur.

$$x=\frac{-42±48}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel 2 ja 9.

$$x=\frac{-42±48}{18}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-42±48}{18}, kui ± on pluss. Liitke -42 ja 48.

$$x=\frac{6}{18}$$

Taandage murd \frac{6}{18} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-42±48}{18}, kui ± on miinus. Lahutage 48 väärtusest -42.

$$x=-\frac{90}{18}$$

Jagage -90 väärtusega 18.

$$x=-5$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+42x=15$$

Jagage mõlemad pooled 9-ga.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=\frac{15}{9}$$

9-ga jagamine võtab 9-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=\frac{15}{9}$$

Taandage murd \frac{42}{9} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{15}{9}$$

Taandage murd \frac{15}{9} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{5}{3}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{14}{3} 2-ga, et leida \frac{7}{3}. Seejärel liitke \frac{7}{3} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{7}{3} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

Liitke \frac{5}{3} ja \frac{49}{9}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

Lahutage x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{7}{3}.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$