Lahenda 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 9x^{2}+ax+bx+25. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Lahendus on paar, mis annab summa -30.

$$a=-15 b=-15$$

Kirjutage9x^{2}-30x+25 ümber kujul \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Lahutage 3x esimesel ja -5 teise rühma.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Tooge liige 3x-5 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Kirjutage ümber kaksliikme ruuduna.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Võrrandi lahendi leidmiseks lahendage 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 9, b väärtusega -30 ja c väärtusega 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Tõstke -30 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -36 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Liitke 900 ja -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Leidke 0 ruutjuur.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Arvu -30 vastand on 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel 2 ja 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Taandage murd \frac{30}{18} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 25.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

25 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Jagage mõlemad pooled 9-ga.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

9-ga jagamine võtab 9-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Taandage murd \frac{-30}{9} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{10}{3} 2-ga, et leida -\frac{5}{3}. Seejärel liitke -\frac{5}{3} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{5}{3} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Liitke -\frac{25}{9} ja \frac{25}{9}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Lahutage x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{5}{3}.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud. Lahendused on samad.

$$x=\frac{5}{3}$$