Lahenda 9x^2-24x+21=0

$$9 { x }^{ 2 } -24x+21=0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{5}i}{3}\approx 1,333333333+0,745355992i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+4}{3}\approx 1,333333333-0,745355992i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$9x^{2}-24x+21=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 9, b väärtusega -24 ja c väärtusega 21.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

Tõstke -24 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 21}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -36 ja 21.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-756}}{2\times 9}$$

Liitke 576 ja -756.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-180}}{2\times 9}$$

Leidke -180 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Arvu -24 vastand on 24.

$$x=\frac{24±6\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel 2 ja 9.

$$x=\frac{24±6\sqrt{5}i}{18}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{24±6\sqrt{5}i}{18}, kui ± on pluss. Liitke 24 ja 6i\sqrt{5}.

$$x=\frac{24+6\sqrt{5}i}{18}$$

Jagage 24+6i\sqrt{5} väärtusega 18.

$$x=\frac{4+\sqrt{5}i}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{24±6\sqrt{5}i}{18}, kui ± on miinus. Lahutage 6i\sqrt{5} väärtusest 24.

$$x=\frac{-6\sqrt{5}i+24}{18}$$

Jagage 24-6i\sqrt{5} väärtusega 18.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+4}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{4+\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-\sqrt{5}i+4}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x+21=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 21.

$$9x^{2}-24x+21-21=-21$$

21 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$9x^{2}-24x=-21$$

Jagage mõlemad pooled 9-ga.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{21}{9}$$

9-ga jagamine võtab 9-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{21}{9}$$

Taandage murd \frac{-24}{9} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{21}{9}$$

Taandage murd \frac{-21}{9} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{8}{3} 2-ga, et leida -\frac{4}{3}. Seejärel liitke -\frac{4}{3} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{4}{3} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{16}{9}$$

Liitke -\frac{7}{3} ja \frac{16}{9}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{9}$$

Lahutage x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{9}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{9}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{5}i}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{5}i}{3}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4+\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-\sqrt{5}i+4}{3}$$