Lahenda 7x-y=-6text{and}x-y=0

$$7 x - y = - 6 \text { and } x - y = 0$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$7x-y=-6$$

Liitke võrrandi mõlema poolega y.

$$7x=y-6$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-6\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{7} ja y-6.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}$$

Asendage x teises võrrandis x-y=0 väärtusega \frac{-6+y}{7}.

$$\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}-y=0$$

Liitke \frac{y}{7} ja -y.

$$-\frac{6}{7}y-\frac{6}{7}=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{6}{7}.

$$-\frac{6}{7}y=\frac{6}{7}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega -\frac{6}{7}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=-1$$

Asendage y võrrandis x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7} väärtusega -1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{1}{7}\left(-1\right)-\frac{6}{7}$$

Korrutage omavahel \frac{1}{7} ja -1.

$$x=\frac{-1-6}{7}$$

Liitke -\frac{6}{7} ja -\frac{1}{7}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=-1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-1,y=-1$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)\\\frac{1}{6}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=-1,y=-1$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Lahutage x-y=0 võrrandist 7x-y=-6, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$7x-x-y+y=-6$$

Liitke -y ja y. Liikmed -y ja y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$7x-x=-6$$

Liitke 7x ja -x.

$$6x=-6$$

Jagage mõlemad pooled 6-ga.

$$x=-1$$

Asendage x võrrandis x-y=0 väärtusega -1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$-1-y=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$-y=1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-1,y=-1$$