Lahenda 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$7x-15y-2=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2.

$$7x-15y=2$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 15y.

$$7x=15y+2$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{7} ja 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Asendage x teises võrrandis x+2y=3 väärtusega \frac{15y+2}{7}.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Liitke \frac{15y}{7} ja 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{2}{7}.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{29}{7}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=\frac{19}{29}$$

Asendage y võrrandis x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} väärtusega \frac{19}{29}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Korrutage omavahel \frac{15}{7} ja \frac{19}{29}, korrutades nimetajad omavahel ja lugejad omavahel. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Liitke \frac{2}{7} ja \frac{285}{203}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=\frac{49}{29}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

7x ja x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 7-ga.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Lihtsustage.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Lahutage 7x+14y=21 võrrandist 7x-15y-2=0, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Liitke 7x ja -7x. Liikmed 7x ja -7x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-15y-14y-2=-21$$

Liitke -15y ja -14y.

$$-29y-2=-21$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2.

$$-29y=-19$$

Jagage mõlemad pooled -29-ga.

$$y=\frac{19}{29}$$

Asendage y võrrandis x+2y=3 väärtusega \frac{19}{29}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Korrutage omavahel 2 ja \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{38}{29}.

$$x=\frac{49}{29}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$