Lahenda 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 7, b väärtusega 4 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Tõstke 4 ruutu.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Korrutage omavahel -4 ja 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Liitke 16 ja -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Leidke -12 ruutjuur.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Korrutage omavahel 2 ja 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}, kui ± on pluss. Liitke -4 ja 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Jagage -4+2i\sqrt{3} väärtusega 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{3} väärtusest -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Jagage -4-2i\sqrt{3} väärtusega 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

7-ga jagamine võtab 7-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{4}{7} 2-ga, et leida \frac{2}{7}. Seejärel liitke \frac{2}{7} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{2}{7} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Liitke -\frac{1}{7} ja \frac{4}{49}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Lahutage x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} teguriteks. Üldiselt, kui x^{2}+bx+c on täisruut, saab selle alati teguriteks lahutada kujul \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{2}{7}.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$