Lahenda 7x^2+5x+3=0

$$7 { x }^{ 2 } +5x+3 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{14}\approx -0,357142857+0,548653268i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{14}\approx -0,357142857-0,548653268i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$7x^{2}+5x+3=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 7, b väärtusega 5 ja c väärtusega 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 3}}{2\times 7}$$

Tõstke 5 ruutu.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 3}}{2\times 7}$$

Korrutage omavahel -4 ja 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 3}}{2\times 7}$$

Korrutage omavahel -28 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-84}}{2\times 7}$$

Liitke 25 ja -84.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-59}}{2\times 7}$$

Leidke -59 ruutjuur.

$$x=\frac{-5±\sqrt{59}i}{2\times 7}$$

Korrutage omavahel 2 ja 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{59}i}{14}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-5±\sqrt{59}i}{14}, kui ± on pluss. Liitke -5 ja i\sqrt{59}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{14}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-5±\sqrt{59}i}{14}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{59} väärtusest -5.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{14}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{14} x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{14}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x+3=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 3.

$$7x^{2}+5x+3-3=-3$$

3 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$7x^{2}+5x=-3$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{3}{7}$$

7-ga jagamine võtab 7-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{3}{7}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{5}{7} 2-ga, et leida \frac{5}{14}. Seejärel liitke \frac{5}{14} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{3}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{5}{14} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{3}{7}+\frac{25}{196}$$

Liitke -\frac{3}{7} ja \frac{25}{196}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{59}{196}$$

Lahutage x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{59}{196}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{196}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{59}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{59}i}{14}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{5}{14}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{14} x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{14}$$