Lahenda 6x+9y=9text{and}-6x+6y=1

$$6 x + 9 y = 9 \text { and } - 6 x + 6 y = 1$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$6x+9y=9$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 9y.

$$6x=-9y+9$$

Jagage mõlemad pooled 6-ga.

$$x=\frac{1}{6}\left(-9y+9\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{6} ja -9y+9.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}$$

Asendage x teises võrrandis -6x+6y=1 väärtusega \frac{-3y+3}{2}.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}\right)+6y=1$$

Korrutage omavahel -6 ja \frac{-3y+3}{2}.

$$9y-9+6y=1$$

Liitke 9y ja 6y.

$$15y-9=1$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 9.

$$15y=10$$

Jagage mõlemad pooled 15-ga.

$$y=\frac{2}{3}$$

Asendage y võrrandis x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2} väärtusega \frac{2}{3}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{3}{2}$$

Korrutage omavahel -\frac{3}{2} ja \frac{2}{3}, korrutades nimetajad omavahel ja lugejad omavahel. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

Liitke \frac{3}{2} ja -1.

$$x=\frac{1}{2}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&-\frac{9}{6\times 6-9\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 9-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}\times 9+\frac{1}{15}\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

6x ja -6x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed -6-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 6-ga.

$$-6\times 6x-6\times 9y=-6\times 9,6\left(-6\right)x+6\times 6y=6$$

Lihtsustage.

$$-36x-54y=-54,-36x+36y=6$$

Lahutage -36x+36y=6 võrrandist -36x-54y=-54, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$-36x+36x-54y-36y=-54-6$$

Liitke -36x ja 36x. Liikmed -36x ja 36x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-54y-36y=-54-6$$

Liitke -54y ja -36y.

$$-90y=-54-6$$

Liitke -54 ja -6.

$$-90y=-60$$

Jagage mõlemad pooled -90-ga.

$$y=\frac{2}{3}$$

Asendage y võrrandis -6x+6y=1 väärtusega \frac{2}{3}. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$-6x+6\times \frac{2}{3}=1$$

Korrutage omavahel 6 ja \frac{2}{3}.

$$-6x+4=1$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 4.

$$-6x=-3$$

Jagage mõlemad pooled -6-ga.

$$x=\frac{1}{2}$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$