Lahenda 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=1$$

$$y=2$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$5x-2y=1$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2y.

$$5x=2y+1$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{5} ja 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Asendage x teises võrrandis 3x+5y=13 väärtusega \frac{2y+1}{5}.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Korrutage omavahel 3 ja \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Liitke \frac{6y}{5} ja 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{3}{5}.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{31}{5}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=2$$

Asendage y võrrandis x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Korrutage omavahel \frac{2}{5} ja 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Liitke \frac{1}{5} ja \frac{4}{5}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=1,y=2$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=1,y=2$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

5x ja 3x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 5-ga.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Lihtsustage.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Lahutage 15x+25y=65 võrrandist 15x-6y=3, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Liitke 15x ja -15x. Liikmed 15x ja -15x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-6y-25y=3-65$$

Liitke -6y ja -25y.

$$-31y=3-65$$

Liitke 3 ja -65.

$$-31y=-62$$

Jagage mõlemad pooled -31-ga.

$$y=2$$

Asendage y võrrandis 3x+5y=13 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$3x+5\times 2=13$$

Korrutage omavahel 5 ja 2.

$$3x+10=13$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 10.

$$3x=3$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=1,y=2$$