Lahenda 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 5, b väärtusega 3 ja c väärtusega 1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Tõstke 3 ruutu.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -4 ja 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Liitke 9 ja -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Leidke -11 ruutjuur.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel 2 ja 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, kui ± on pluss. Liitke -3 ja i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{11} väärtusest -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5-ga jagamine võtab 5-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{3}{5} 2-ga, et leida \frac{3}{10}. Seejärel liitke \frac{3}{10} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{3}{10} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Liitke -\frac{1}{5} ja \frac{9}{100}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Lahutage x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} teguriteks. Üldiselt, kui x^{2}+bx+c on täisruut, saab selle alati teguriteks lahutada kujul \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{3}{10}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$