Lahenda 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0,2+1,720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0,2-1,720465053i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 5, b väärtusega -2 ja c väärtusega 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Tõstke -2 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -20 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Liitke 4 ja -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Leidke -296 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Arvu -2 vastand on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel 2 ja 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}, kui ± on pluss. Liitke 2 ja 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

Jagage 2+2i\sqrt{74} väärtusega 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{74} väärtusest 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

Jagage 2-2i\sqrt{74} väärtusega 10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 15.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

15 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

5-ga jagamine võtab 5-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

Jagage -15 väärtusega 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{2}{5} 2-ga, et leida -\frac{1}{5}. Seejärel liitke -\frac{1}{5} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{1}{5} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Liitke -3 ja \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Lahutage x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{1}{5}.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$