Lahenda 5x^2+6x+19=0

$$5 { x }^{ 2 } +6x+19=0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{86}i}{5}\approx -0,6+1,854723699i$$

$$x=\frac{-\sqrt{86}i-3}{5}\approx -0,6-1,854723699i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$5x^{2}+6x+19=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 5, b väärtusega 6 ja c väärtusega 19.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

Tõstke 6 ruutu.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -4 ja 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 19}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -20 ja 19.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-380}}{2\times 5}$$

Liitke 36 ja -380.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-344}}{2\times 5}$$

Leidke -344 ruutjuur.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{86}i}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel 2 ja 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{86}i}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-6±2\sqrt{86}i}{10}, kui ± on pluss. Liitke -6 ja 2i\sqrt{86}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{86}i}{10}$$

Jagage -6+2i\sqrt{86} väärtusega 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{86}i}{5}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-6±2\sqrt{86}i}{10}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{86} väärtusest -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{86}i-6}{10}$$

Jagage -6-2i\sqrt{86} väärtusega 10.

$$x=\frac{-\sqrt{86}i-3}{5}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-3+\sqrt{86}i}{5} x=\frac{-\sqrt{86}i-3}{5}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+19=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 19.

$$5x^{2}+6x+19-19=-19$$

19 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$5x^{2}+6x=-19$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{19}{5}$$

5-ga jagamine võtab 5-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{19}{5}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{6}{5} 2-ga, et leida \frac{3}{5}. Seejärel liitke \frac{3}{5} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{19}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{3}{5} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{19}{5}+\frac{9}{25}$$

Liitke -\frac{19}{5} ja \frac{9}{25}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{86}{25}$$

Lahutage x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{86}{25}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{86}{25}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{86}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{86}i}{5}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{3}{5}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{86}i}{5} x=\frac{-\sqrt{86}i-3}{5}$$