Lahenda 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 42x^{2}+ax+bx-3. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on negatiivne, on negatiivne arv suurem kui positiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Arvutage iga paari summa.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Lahendus on paar, mis annab summa -5.

$$a=-14 b=9$$

Kirjutage42x^{2}-5x-3 ümber kujul \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Lahutage 14x esimesel ja 3 teise rühma.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Tooge liige 3x-1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 3x-1=0 ja 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 42, b väärtusega -5 ja c väärtusega -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Tõstke -5 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Korrutage omavahel -4 ja 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Korrutage omavahel -168 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Liitke 25 ja 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Leidke 529 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Arvu -5 vastand on 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Korrutage omavahel 2 ja 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{5±23}{84}, kui ± on pluss. Liitke 5 ja 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Taandage murd \frac{28}{84} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{5±23}{84}, kui ± on miinus. Lahutage 23 väärtusest 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Taandage murd \frac{-18}{84} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 3.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Lahutage -3 väärtusest 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Jagage mõlemad pooled 42-ga.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42-ga jagamine võtab 42-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Taandage murd \frac{3}{42} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{5}{42} 2-ga, et leida -\frac{5}{84}. Seejärel liitke -\frac{5}{84} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{5}{84} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Liitke \frac{1}{14} ja \frac{25}{7056}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Lahutage x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{5}{84}.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$